[Math4CV-10] Square matrix

2021-03-10

Ma trận vuông là ma trận có số hàng bằng với số cột. Rn×n là không gian các ma trận vuông với số chiều là n.

Ma trận vuông ARn×n tạo ra 2 phép ánh xạ tuyến tính:

  • Từ Rn×1 vào Rn×1, được xác định bởi y=Ax, trong đó x, y là các vector cột
  • Từ R1×n vào R1×n, được xác định bởi y=xA, trong đó x, y là các vector hàng

Trường hợp đặc biệt của ma trận vuông là ma trận đường chéo (diagonal matrix)

D=diag(d1,d2,,dn)

DA được ma trận với hàng ith là tích của di và hàng ith của ma trận A, i=1n

AD được ma trận với cột jth là tích của dj và cột jth của ma trận A, j=1n

Ma trận đơn vị (identity matrix)

In=diag(1,1,,1)

Một số tính chất:

  • rank(In)=n
  • InA=AIn=A
  • Inx=x, x là vector cột
  • xIn=x, x là vector hàng

Ma trận vuông A được gọi là đối xứng nếu:

A=AT

Ma trận vuông A gọi là ma trận trực giao nếu:

AAT=ATA=I

nhận thấy aiajT=0, ij ngược lại aiajT=1, i=j, chỗ này là hàng nhân với cột để được một phần tử.

Một số tính chất:

  • Các hàng của ma trận trực giao tạo thành cơ sở trực chuẩn của R1×n
  • Các cột của ma trận trực giao tạo thành cơ sở trực chuẩn trong Rn×1
  • Nếu ma trận A trực giao thì (Au,Av)=(u,v), Au2=u2. Ánh xạ tuyến tính bằng ma trận trực giao giữ nguyên khoảng cách và tích vô hướng trong không gian Euclid.
  • Frobenius norm của ma trận trực giao: AF=n