Ma trận vuông là ma trận có số hàng bằng với số cột. ${\mathbb{R}}^{n\times n}$ là không gian các ma trận vuông với số chiều là $n$.

Ma trận vuông $\mathbf{A}\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ tạo ra 2 phép ánh xạ tuyến tính:

• Từ ${\mathbb{R}}^{n\times 1}$ vào ${\mathbb{R}}^{n\times 1}$, được xác định bởi $\mathbf{y}=\mathbf{A}\mathbf{x}$, trong đó $\mathbf{x}$, $\mathbf{y}$ là các vector cột
• Từ ${\mathbb{R}}^{1\times n}$ vào ${\mathbb{R}}^{1\times n}$, được xác định bởi $\mathbf{y}=\mathbf{x}\mathbf{A}$, trong đó $\mathbf{x}$, $\mathbf{y}$ là các vector hàng

Trường hợp đặc biệt của ma trận vuông là ma trận đường chéo (diagonal matrix)

$$\mathbf{D}=diag(d_1,d_2,\dots ,d_n)$$

$\mathbf{D}\cdot \mathbf{A}$ được ma trận với hàng $i_{th}$ là tích của $d_i$ và hàng $i^{th}$ của ma trận $\mathbf{A}$, $i=1\dots n$

$\mathbf{A}\cdot \mathbf{D}$ được ma trận với cột $j_{th}$ là tích của $d_j$ và cột $j^{th}$ của ma trận $\mathbf{A}$, $j=1\dots n$

Ma trận đơn vị (identity matrix)

$${\mathbf{I}}_n=diag(1,1,\dots ,1)$$

Một số tính chất:

• $rank({\mathbf{I}}_n)=n$
• ${\mathbf{I}}_n\mathbf{A}=\mathbf{A}{\mathbf{I}}_n=\mathbf{A}$
• ${\mathbf{I}}_n\mathbf{x}=\mathbf{x}$, $\mathbf{x}$ là vector cột
• $\mathbf{x}{\mathbf{I}}_n=\mathbf{x}$, $\mathbf{x}$ là vector hàng

Ma trận vuông $\mathbf{A}$ được gọi là đối xứng nếu:

$$\mathbf{A}={\mathbf{A}}^T$$

Ma trận vuông $\mathbf{A}$ gọi là ma trận trực giao nếu:

$$\mathbf{A}\cdot {\mathbf{A}}^T={\mathbf{A}}^T\cdot \mathbf{A}=\mathbf{I}$$

nhận thấy $a_{i\ast }\cdot a_{j\ast }^T=0,i\ne j$ ngược lại $a_{i\ast }\cdot a_{j\ast }^T=1,i=j$, chỗ này là hàng nhân với cột để được một phần tử.

Một số tính chất:

• Các hàng của ma trận trực giao tạo thành cơ sở trực chuẩn của ${\mathbb{R}}^{1\times n}$
• Các cột của ma trận trực giao tạo thành cơ sở trực chuẩn trong ${\mathbb{R}}^{n\times 1}$
• Nếu ma trận $\mathbf{A}$ trực giao thì $(\mathbf{A}\mathbf{u},\mathbf{A}\mathbf{v})=(\mathbf{u},\mathbf{v})$, $\Vert \mathbf{A}\mathbf{u}{\Vert }_2=\Vert \mathbf{u}{\Vert }_2$. Ánh xạ tuyến tính bằng ma trận trực giao giữ nguyên khoảng cách và tích vô hướng trong không gian Euclid.
• Frobenius norm của ma trận trực giao: $\Vert \mathbf{A}{\Vert }_F=\sqrt{n}$