Định nghĩa

Trace của ma trận vuông $\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{n \times n}$ bằng tổng các phần tử trên đường chéo chính:

\[\text{trace}(\mathbf{A}) = a_{11}+a_{22}+\dots+a_{nn} = \sum_{i=1}^n a_{ii}\]

Trace chỉ được định nghĩa cho ma trận vuông.

Ví dụ chúng ta có ma trận $\mathbf{A}$:

\[\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 17& 8& 9 \end{bmatrix}\]

thì $\text{trace}(\mathbf{A}) = 1 + 5 + 9 = 15$

Tính chất

Một số tính chất của trace với điều kiện các ma trận trong hàm $trace$ là vuông và phép nhân ma trận thực hiện được:

1. $\text{trace}(\mathbf{A}) = \text{trace}(\mathbf{A}^T)$

Điều này hiển nhiên vì các phần tử trên đường chéo chính của ma trận chuyển vị và ma trận ban đầu như nhau.

2. $\text{trace}(k\mathbf{A}) = k\text{trace}(\mathbf{A})$ với $k$ bất kỳ

Điều này cũng hiển nhiên vì các phần tử trên đường chéo chính nhân thêm với $k$.

3. $\text{trace}(\mathbf{A} + \mathbf{B}) = \text{trace}(\mathbf{A}) + \text{trace}(\mathbf{B}) $

4. Cho ma trận $\mathbf{A} \in \mathbf{R}^{m \times n}$ và ma trận $\mathbf{B} \in \mathbf{R}^{n \times m}$ thì:

\[\text{trace}(\mathbf{A} \mathbf{B}) = \text{trace}(\mathbf{B} \mathbf{A})\]

Thật vậy

\[\text{trace}(\mathbf{A} \mathbf{B}) = \sum_{i=1}^m \mathbf{a}_{i*} \mathbf{b}_{*i} = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n a_{ij} b_{ji}\] \[\text{trace}(\mathbf{B} \mathbf{A}) = \sum_{j=1}^n \mathbf{b}_{j*} \mathbf{a}_{*j} = \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m b_{ji} a_{ij}\]

Có thể đổi vị trí lấy tổng sigma do đó ta có biểu thức trên. Để dễ hiểu hơn có thể viết tường minh hai công thức trên là thấy ngay.

5. $\text{trace}(\mathbf{ABC}) = \text{trace}(\mathbf{CAB}) = \text{trace} (\mathbf{BCA})$

Cái này được suy ra từ tính chất 4.

5. Trace của ma trận liên hợp.

Cho $\mathbf{A}$ là ma trận vuông cấp $n$, $\mathbf{P}$ là ma trận vuông cấp $n$ và khả nghịch. Liên hợp của $\mathbf{A}$ theo $\mathbf{P}$ là $\mathbf{P} \mathbf{A} \mathbf{P}^{-1}$, khi đó ta có:

\[\text{trace}(\mathbf{A}) = \text{trace}(\mathbf{P} \mathbf{A} \mathbf{P}^{-1})\]

Điều này có nghĩa là khi lấy liên hợp thì trace của ma trận không đổi.

Chứng mình: Nhận thấy theo tính chất (4) ta sẽ có:

\(\text{trace}(\mathbf{P} \mathbf{A} \mathbf{P}^{-1}) = \text{trace}(\mathbf{P}^{-1} \mathbf{P} \mathbf{A}) = \text{trace}(\mathbf{I}_n \mathbf{A}) = \text{trace}(\mathbf{A})\) 6. Trace của ma trận $\mathbf{A}$ bằng tổng các giá trị riêng của nó.

\[\text{trace}(\mathbf{A}) = \sum_{i=1}^n \lambda_i\]

Có thể xem lại về giá trị riêng tại đây.

Tính chất này có thể chứng minh dựa trên eigendecomposition của ma trận vuông $\mathbf{A}$. Ma trận $\mathbf{A}$ có thể phân tích thành:

\[\mathbf{A} = \mathbf{S} \Lambda \mathbf{S}^{-1}\]

Với $\mathbf{S}$ là ma trận mà các cột chính là các eigenvectors của ma trận $\mathbf{A}$, còn $\Lambda$ là ma trận đường chéo, các phần tử trên đường chéo là các eigenvalues tương ứng. Theo tính chất 4 ta có,

\(\text{trace}(\mathbf{A}) = \text{trace}(\mathbf{S^{-1}S \Lambda}) = \text{trace}(\Lambda) = \sum_{i=1}^n \lambda_i\) 7. Liên hệ trace với Frobenius norm của ma trận.

\[\lVert\mathbf{A} \rVert_F^2 = \text{trace}(\mathbf{A}^T\mathbf{A}) = \text{trace}(\mathbf{A}\mathbf{A}^T)\]

với $\mathbf{A}$ là ma trận bất kỳ, có thể không vuông

Chứng minh: Có thể biểu diễn ma trận $\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m \times n}$ dưới dạng như sau:

\[\mathbf{A} = \begin{bmatrix} a_{11}& a_{12}& \dots& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots& a_{2n}\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ a_{m1}& a_{m2}& \dots& a_{mn}\\ \end{bmatrix}_{m \times n} = \begin{bmatrix} \mathbf{a}_{1*}\\ \mathbf{a}_{2*}\\ \vdots\\ \mathbf{a}_{m*}\\ \end{bmatrix}_{m \times n}\] \[\mathbf{A}^T = \begin{bmatrix} \mathbf{a}_{1*}^T& \mathbf{a}_{2*}^T \dots& \mathbf{a}_{m*}^T \end{bmatrix}_{n \times m}\]

ở đây $\mathbf{a}{i*}$ là vector hàng thứ $i$, $\mathbf{a}{i*}^T$ là vector cột. Chúng ta đang biểu diễn $\mathbf{A}$ dưới dạng vector cột của các vector hàng, ma trận $\mathbf{A}^T$ dưới dạng vector hàng của các vector cột. Mục đích để lấy hàng nhân với cột để được scalar.

\[\text{trace}(\mathbf{A} \mathbf{A}^T) = \sum_{i=1}^m \mathbf{a}_{i*}\mathbf{a}_{i*}^T = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n a_{ij} a_{ij} = \lVert \mathbf{A} \rVert_F^2\]

Như vậy chúng ta đã tìm hiểu khái niệm về trace và một số tính chất của nó.